【東大数学 理系】頻出分野と具体的対策を徹底解説！おすすめ問題集5選も紹介｜オンライン家庭教師ピース

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「東大理系数学」は全部が全部、難問ばかりではありません。基本知識で解ける問題や、着眼点を変えるだけでグンと解きやすくなる問題も含まれています。

また小問があり、完答までの道筋を立てやすいのも、東大数学の特徴。

今回は東大数学を、あらゆる角度から分析します。時間配分や目標点の決め方、頻出分野、具体的な勉強法、さらに京大数学対策におすすめの問題集まで解説！

最後まで読めば、東大数学に向けて「自分がすべきこと」がはっきりするはず！さあ、一緒に東大数学対策を始めましょう！

東大理系数学の概要を知る

はじめに、あなたが挑む「東大理系数学」の概要を押さえておきましょう。配点、試験時間と時間配分、そして目標点の決め方を解説します。

配点

東京大学の数学（理系）は120点満点、全部で大問6題が出されます。大問ごとの配点は公表されていませんが、大問あたり20点の均等配分だと考えられています。

また東大数学では、大問の中に小問が置かれることもあります。小問がある場合は「はじめの方が易しく配点低め、後の方が難しく配点高め」というのが一般的。東大数学でもこの方式が採用されていると想定して良いでしょう。

試験時間と時間配分

東大理系数学の試験時間は150分です。150分で6題を解くということは、1題に平均25分かけられるということになりますね。

「1題25分」を目安に、持ち時間を割り振ってください。解けそうもない問題は後回しにし、解くべき問題に30～35分ずつかけるというのが現実的な配分でしょう。

過去問演習では時間配分も意識して進めること。

150分をキッチリ計り、「問題を見て解く順番を決める時間」「問題を吟味する時間」「見直しの時間」等も含めた時間間隔を養っていきましょう。

目標点はこう決める！

東大は合格者得点を「科目別」には公表していません。分かるのは合計点での合格者最高点・最低点・平均点です。

★ 東京大学 合格者最高点・最低点・平均点（一般選抜）｜過去3年分

※ 大学入試センター試験・大学入学共通テストの成績（900点満点を110点に換算）と第2次学力試験の成績（配点440点）を合算し、550点満点としたものに対する得点。

		合格者最高点	合格者平均点	合格者最低点
2021年度	理科一類	456.3333	360.7410	333.2667
理科二類	440.3333	338.5574	314.2333
理科三類	480.4333	405.5365	375.7111
2020年度	理科一類	475.7222	352.5810	320.7222
理科二類	449.2889	336.9197	313.0222
理科三類	492.2333	414.1081	385.6111
2019年度	理科一類	455.6778	363.2257	334.6667
理科二類	431.4333	353.1962	330.3778
理科三類	497.9222	410.8422	385.3778

分かりやすく得点率（％）にすると、下表のようになります。

		合格者最高	合格者平均	合格者最低
2021年度	理科一類	82.97%	65.59%	60.59%
理科二類	80.06%	61.56%	57.13%
理科三類	87.35%	73.73%	68.31%
2020年度	理科一類	86.49%	64.11%	58.31%
理科二類	81.69%	61.26%	56.91%
理科三類	89.50%	75.29%	70.11%
2019年度	理科一類	82.85%	66.04%	60.85%
理科二類	78.44%	64.22%	60.07%
理科三類	90.53%	74.70%	70.07%

科類ごとに目標得点率を整理すると、以下のようになります。

• 理科一類は最低でも60％、平均は65％が目標
• 理科二類は最低でも57％、平均は61％が目標
• 理科三類は最低でも70％、平均は74％が目標

合格する受験生の多くは、数学の大問2つで満点（およそ40点）を取ってくると考えてください。他の大問で部分点をどれくらい重ねられるかが勝負になります。

東大理系数学で得点できる答案とは？

東大理系数学は「答が合っていても、途中過程によっては減点されることがある」と言われます。

これは東京大学が「数学的な思考力・表現力」を重視していることが理由です。

◎ 東京大学 「数学」の出題の意図 （抜粋）

1) 数学的に思考する力問題の本質を数学的な考え方で把握・整理し、それらを数学の概念を用いて定式化する力 2) 数学的に表現する力自分の考えた道筋を他者が明確に理解できるよう、解答に至る道筋を論理的かつ簡潔に表現する力 3) 総合的な数学力数学を用いて様々な課題を解決するために、数学を自在に活用できると同時に、幅広い分野の知識・技術を統合して総合的に問題を捉える力

引用：東京大学

数学の答案用紙は、受験生であるあなたと大学との「数字を使ったコミュニケーションツール」だと考えましょう。

大学は答案用紙を通じて、あなたがどのように問題を捉え、数学的に思考し、数式で適切に表現したか、そしてそれは大学が求める人物像と合致するかを見ます。

具体的には、最終解答はもちろんのこと、「論理に一貫性があるか（矛盾がないか）」「数学的に伝わる記述ができているか」が見られると考えてください。

逆に言えば、最終解答に辿り着かなくても、解答方針や筋道が合っていれば、部分点を取れるということ。日頃から「数学の作法に乗っ取った」答案が書けるよう努力する姿勢が大切です。

東大理系数学の出題傾向

東京大学数学（理系）には、頻繁出分野に特徴があります。傾向をみていきましょう。

頻出分野

東大理系数学では、次の6分野が繰り返し、よく出されています。

• 立体の求積問題
• 微分法・積分法
• 複素数平面
• 通過領域
• 整数
• 確率

実際、過去10年の出題分野を調べてみると、上記6分野が実際に頻出であることがわかります。

	第1問	第2問	第3問	第4問	第5問	第6問
2021年度	通過領域	複素数平面	定積分	整数	微分と増減	恒等式整数
2020年度	論証連立不等式	平面図形	微分と増減面積	整数数列	立体の体積通過領域	楕円媒介変数表示
2019年度	定積分	微分と増減図形の計量	空間図形	整数論証	微分応用数列の極限	高次方程式複素数平面
2018年度	微分と増減	数列二口係数	ベクトル領域	微分応用	複素数図形軌跡	立体の体積
2017年度	三角関数二次関数	確率	複素数図形	漸化式整数	放物線と接戦	空間図形立体の体積
2016年度	微分応用	確率	空間座標微分と増減	複素数と図形	整数	空間図形立体の体積
2015年度	塚領域	確率漸化式	微分応用回転体の体積	漸化式	整数	定積分極限
2014年度	ベクトル三角関数	確率漸化式	放物線定積分	数列の極限	整数漸化式	通過領域
2013年度	一次変換	微分応用	確率無限級数	ベクトル図形の軽量	整数論証	回転体の体積
2012年度	円と直線微分と増減	確率漸化式	回転体の体積	整数論証	行列の演算整数	行列の演算

※ 複数分野にまたがって出題されることもあるので、表の分類は「代表的な分野」を示しています。

東大理系数学では、過去問と同じ分野が出題されることがあるだけではなく、似た解き方をする問題が繰り返し出されることもあります。過去問演習をするなかで、「この問題、前にも見たことがある」と感じたらチャンス、東大数学に精通してきているということです！

また難しく見えても、注意深く観察すると基本知識で解ける”手間がかからない問題”も含まれています。基本問題での失点は、絶対にしてはいけないことの一つです。1問1問の演習に注意深く取り組み、「東大数学のセンス」を養っていきましょう！

解答形式

東大数学は、全問記述式で解答します。

理系数学の解答用紙は、A3サイズが2枚。1枚目表に第1・2問、裏が第3問、2枚目表が第4・5問、2枚目裏が第6問という構成です。

解答欄は第3問・第6問がB4サイズ、その他はB5サイズです。一般的なノートがおよそB5サイズなので、ノート1ページないしは2ページに収まる解答を書けるよう、記述の練習をしていきましょう。

一方、問題に対して解答欄が狭いという声も聞かれます。それだけ、理路整然とした記述が求められているということだといえます。論理的一貫性や数学的な表現力を重視する採点基準に対応するには、数学の解答作法に則って丁寧に記述することが大切。当然ですが、「値を求める問題だから、計算結果だけを書く」「途中の論述や計算過程が走り書き（読みにくい）」「読み手（採点者）が理解できない書き方をしている」といった答案はNGです。

チャート式やFocusGoldの解答のような、定義・定理を踏まえた正しい書き方を身に着けましょう。

問題の特徴

東大数学は、他の難関大数学に比べて「親切だ」といわれることがあります。それは「小問が置かれることが多い」から。(1)は(2)のヒントに、(2)は(3)のヒントに…、といったように、前の小問が次の問題を解くための道筋となっている問題が多いのです。

小問の誘導にうまく乗れれば、完答も可能。これは京大や一橋大の数学にはない、東大の特徴です。小問が多いということは、部分点もとりやすいということ。完答だけが唯一解ではありません。効率的に部分点を稼ぐいでいきましょう。

東大理系数学の対策

東大理系数学は難易度にややバラつきはあるものの、「標準的レベル2題」「難しいレベル3題」「かなり難しいレベル1題」という出題が定着しています。試験当日に「難しい／かなり難しい」問題を前にすると焦ってしまうものですが、受験勉強をしているあいだはじっくり研究するべき！東大は良問揃いなので、問題研究をする中で数学の力が複合的に伸びていきます。

ここからは東大理系数学の具体的な対策や、心がけるべきポイントをまとめていきます。

鍛えるべきは「思考力・発想力」

東大理系数学は難しく見えても、高校数学の内容を超える問題は出されません。ただし当然ですが、単に知識を問うような問題も出されません。受験生の思考・発想プロセスや着眼点、問題吟味の方法を重点的に測る問題が出されます。

また典型問題と似ている問題でも、解法パターンを暗記しただけでは解けない問い方をしてきます。問題を前にしたときに「過去に解けた方法」の記憶を辿るだけではなく、知識をフル活用し、その場で考え、糸口を見つける頭の使い方も練習しておくことが重要です。

日頃から「なぜこのように解くのか」「なぜこの公式を使うのか」「この公式は何を意味しているのか」と本質を考えながら解くようにしましょう。そうした頭の使い方が、東大が求める「思考力」「発想力」につながっていきます。

解答は「論理の一貫性」と「説明的記述力」を重視して

繰り返し書いていますが、東大数学で最も重視されるのは「論理の一貫性」と「過不足ない答案記述」です。論証問題も多く出される東大数学では、特に受験生の記述力が顕著にあらわれます。模試で「論証不足」と指摘されたことはありませんか？変数を定める前には、断り書きを入れていますか？場合分けは、1つも漏らさずに書ききっていますか？

答案の記述力は、演習つまり「慣れ」が大切。慣れていないと書くことに精一杯になり、自分の答案を客観的に評価する視点が欠けてしまうからです。日々、記述を数学演習の中心に添え、「答案を記述する」意識で1問1問取り組みましょう。書いたものを数学の先生に添削してもらうのも、良い勉強になります。

頻出分野の具体的勉強法

先にも紹介した東大理系数学頻出分野のうち、対策が難しい「立体図形の求積問題」「通過領域」「整数」「確率」の具体的勉強法も紹介していきましょう。

立体図形の求積問題

立体図形の体積を求める問題もよく出されます。体積を求める際は、x=kなどの適切な断面を取って解くことが多いのですが、この時「断面をどう切ると、後々の計算が楽に済むか」を考えることがコツです。

また図は正確に書けるようにしておくこと。重い積分計算は、数をこなして「一度で正しく計算できるように」トレーニングすることも忘れてはいけません。回転体の体積を求める公式はいくつもありますから、間違えないように要注意です！

通過領域

毎年のように出される定番分野です。処理すべき事項の量が多く、また体系だって解説されている参考書もあまりないため対策がしにくいのですが、「逆像法」「順像法」「図形的に考える」という3つの手法を軸に、コツコツ進めていきましょう。

処理がうまくハマれば、高得点が期待できる分野でもあります。「逆像法」とは、ある点がその図形の中に含まれているかを判定し、図形を把握する方法です。一番取り掛かりやすい解法なので、まずマスターすること。

次に「順像法」、これはxを固定し、パラメータが変化したときのyの値域を求める方法です。逆像法では解けない場合に使うほか、順像法で解くことが指定されている問題もあるので、かならず理解が必要な手法です。

最後に逆像法でも順像法でもなく、図形的に（幾何的に）考えて解く問題が出ることもあります。図形の基本定理は正確に頭に入れておきましょう。

整数

整数は解法のパターン化が難しく、また問題もいくらでも複雑にできる厄介な分野です。典型問題と応用問題で基本的なアプローチ法を知ったら、深入りせず本番の問題を見てどれくらい時間をかけるか決める、という姿勢もありです。

東大理系数学の過去問に取り組む際は、次の視点で問題を吟味してみてください。

• 周期性はないか？
• 条件で絞り込めないか？
• 場合分けできないか？

約数・倍数の関係や剰余類の導入、不等式で評価する、実数範囲で考えてみるなど、基本的なアプローチを試したうえで、それでも解けなければ場合分けを考えてみましょう。

確率

整数同様に厄介な問題も作りやすく、問題で与えられた状況の把握力が物を言うのが確率です。

問題の条件は、かならず図に起こして考えましょう。当たり前のことほど図にしておく、このひと手間が軽微なミスを防いでくれます。

また東大理系数学の確率問題は、漸化式で解くパターンと事象を直接数えるパターンとがあります。漸化式は立式とその後の計算を確実に、事象を数える場合は樹形図や組み合わせのほか、格子点の考え方も応用できるようにしておきましょう。

その他の要注意対策ポイント

頻出分野の他にも、以下のポイントを意識してみてください。

◎ 不等式を使って極限値を求める問題（いわゆる「はさみうちの原理」を利用するもの）が散見されます。また具体的数値の近似値に関する問題も見られるので、練習しておきましょう。

◎ 複素数平面は難易度が高め。「図形的に考える」「極形式」「共役複素数」「成分表示」の4つの考え方を使い分けることがポイントです。

◎ 変数が多い問題や論証問題は演習不足にならないように。自分の答案を客観的に見る機会を意識的に設けるとGOOD。友人と答案を交換し、チェックしあうのもおすすめです。

東大理系数学対策におすすめの参考書＆問題集5選

東大に合格したい！

そんなあなたにおすすめの問題集を5冊ご紹介します。苦手を補ってくれるもの、理解を深めてくれるものを探してみてください。

『チャート式「青」』（数研出版）／『Focus Gold フォーカス ゴールド』（啓林館）

基本の習得におすすめなのが、『青チャート』か『Focus Gold』です。数学の全体像をつかみながら一巡してみてください。実際に手を動かして解くこと、分からなかったからかならず立ち止まって考える・確認することが大切です。

この2冊、問題やレベルは重なる部分も多いので、取り組むのは使いやすい方どちらか1冊でOKです。数学対策の軸に据えてみてください。

また青チャートもFocus Goldも、解説が丁寧に書かれている点がメリット。解説の記述を書き写し、東大理系数学に不可欠な「答案作成力」も身に着けましょう。

『チョイス新標準問題集』シリーズ（河合出版）

東大理系数学は標準レベルの問題で差がつきやすいと言われています。決して落としてはいけない標準問題での失点を防ぐには、基本計算に始まる演習を徹底的に繰り返すしかありません。また東大＝難問と考え、応用問題にばかり走りがちな受験生の基礎確認にもおすすめしたい1冊です。

収録問題はレベル別に「問題A」「問題B」に分けられています。レベルごとに一巡を繰り返すのも良いですね。標準解法に加えて、別解がある点も◎。問題をさまざまな視点から吟味する力が身に着きます。

『理系数学の良問プラチカ』（河合出版）

『入試精選問題集 理系数学の良問プラチカ』は、青チャートやFocus Goldを終え、ハイレベルな問題演習に進みたいという時にピッタリ。

難関大で出題された入試問題から選りすぐりを収録していますので、はっきり言って易しい問題はありません。だからこそ、青チャートやFocusGoldの後に取り組むべき。実戦力を磨くには最適な教材です。

教科書や学校では習わない解き方が載っているなど、解説が充実していることも人気の秘密です。

『やさしい理系数学』（河合出版）

やさしい、とありますが全く易しくないと、受験生が口をそろえて言う1冊です。ただ、東大に合格するなら、この問題集に載っているレベルは「やさしい」と言えるくらいまで完成させる必要があるのも事実。東大理系志望で数学が得意な受験生は、ぜひやってみてください。

別解がたくさん載っているので、1つの問題をさまざまな角度から思考できる力が養成できます。例題50問と演習問題130問という適正分量なのでが、この1冊を繰り返すのも良い対策です。

『東大数学で１点でも多くとる方法』（東京出版）

東大数学は「部分点を1点でも取ること」も、大切な戦略です。では部分点はどんな時にもらえるのか？それを知るために、『東大数学で１点でも多くとる方法』を使ってください。

青チャートをはじめ、一般の問題集解答は「数学的に正しく、できるだけシンプルに」書いてありますよね。いわゆる「美しい解答」です。そういった正しい解答の書き方を知ることは重要ですが、その解答にいたる前の思考過程こそが、受験生が知っておくべきパート。着想や思考プロセスを知りたい時に役立つ1冊です。

自分のペースで勉強したいなら「オンライン家庭教師」も

東大対策は、塾や予備校か、独学か？と悩むこともあるでしょう。

塾や予備校は受験の強い味方です。ただ通塾時間がかかることや、必要ない授業（すでに理解している、など）を受けなければならない場合もあるといった点で不満を持つ受験生も少なくないと聞きます。自分のペースで勉強したいのに、塾・予備校のペースに合わせざるを得ず、それがストレスだという声も。

そんな受験生には「オンライン家庭教師」がおすすめ！オンライン家庭教師とは自宅にいながらにしてマンツーマン授業が受けられ、時間も費用も節約できると、いま人気急上昇中の教育サービスなんです。

オンライン家庭教師ピースには、東大生をはじめ難関大生や医学生、プロ講師も多数在籍！採用率5%という狭き門をくぐりぬけた精鋭講師陣が、次の受験生を応援すべく控えています。

東大に合格した勉強法や過去問対策の秘訣なども、直接聞くことができますよ。

無料体験はいつでも受け付けています。自分のペースで勉強したい、分からないところだけ教えてほしい、効率良く受験勉強をしたいというあなた！一度、ピースの指導を体験してみてくださいね。

まとめ

東大理系数学は、まず50点を目指して勉強していきましょう。50点ということは「2題完答＋部分点で10点」ということです。

完答できる2題を見極める眼力も必要ですし、部分点を取る記述力や発想力も必要になります。

そのためには、まず基礎を高いレベルで完成させること。

さらに数学の正しい作法にのっとった解答を記述できること。

そして、頻出分野を中心に、苦手を作らないこと。

この3点を対策の中心に据えてください。

「東大の問題は誘導があるから、結構解きやすいよね」と言える日を目指して、頑張っていきましょう！